sábado, 20 de febrero de 2010

Por qué el 1 dejó de ser un número primo (Respuestas)

Ante todo gracias a todos por vuestros comentarios. Trataré de resolver ahora algunas de las preguntas que habéis hecho tanto aquí como aquí

Quizás todo se entienda mejor si comenzamos explicando que el post tiene su origen en los comentarios a este otro post.

En un momento determinado, que nada tenía que ver con el post original, Vanbrugh se queja de que el 1 no sea ya número primo... y me animé a explicárselo.

Naturalmente podría haber contestado, que el 1 no es un número primo por convenio, o bien adornar la respuesta con algún ejemplo que ayudase a justificar esta decisión, y adopté ésta última porque 
  1. Creo que todo se digiere mejor cuando hay algo que justifique su existencia.
  2. Mostrar que hasta cosas tremendamente abstractas, como la teoría de números, tienen su aplicación en la vida cotidiana.
Una vez dicho esto, espero que quede claro que esto no es un post sobre criptografía, la criptografía es simplemente una excusa.

Las propiedades de la función de Euler no son las únicas que no cumple el número 1 si lo consideramos primo. Si ir más lejos el Teorema fundamental de la aritmética (todo entero natural no nulo se puede descomponer como un producto de factores primos de forma única) tampoco sería cierto si consideramos al 1 como primo. De manera que ni la NASA, ni la NSA, ni la TIA, nada tienen que ver en decidir si el 1 es o no primo, y de hecho hasta el siglo XIX, al 1 se le consideraba primo. Por otra parte este tipo de convenios es más frecuente de lo que creemos. ¿Es el 0 un número natural? ¿Por qué las horas, minutos y segundos empiezan a contar desde el cero, y los días, meses y años desde el uno?...

Otras preguntas, por ejemplo por qué para que el método sea válido tenemos que multiplicar por un número primo, ya han sido contestadas. Gracias.

Manolo: Por supuesto que el método no es infalible. Si alguien pilla los productos npq y np puede resolver resolver, claro que pillarlos no es tan fácil, y de hecho es una de las formas que tienen los cabroncetes de la NSA de ganarse la vida.

La clave, como ya dije, está en el tamaño del número primo (al menos 100 cifras) y por supuesto según vayan aumentando la capacidad de cálculo de los computadores, el tamaño del número también tendrá que ir aumentando.

Carlos E.M Tu descifrado es correcto. Supongo, claro está, que habrás factorizado a mano ;-) , porque si no, no tiene mérito.

Tampoco es ninguna casualidad que el número primo elegido sea el 10^12-avo. Simplemente utilicé la Función del Mathematica que me calcula el n-ésimo número primo. Precisamente, para evitar sesgos, los números primos elegidos han de serlo de forma aleatoria y se van cambiando.


Por último, gracias Milhaud por colgar el post en meneame.net. Aunque a decir verdad, casi me da un infarto; de estar viendo 2 ó 3 usuarios simultáneamente a encontrarse de golpe y porrazo más de 250... Vamos que he pasado de 1000 visitas a más de 6000 en un día... Lo que me ha hecho recapacitar en la red, como fuente transmisora de información.

En fin, ha sido una forma bonita de gastarme mis quince minutos de gloria, que diría Warhol.

De nuevo, sed todos bienvenidos.

6 comentarios:

Barbie-funcionaria dijo...

Muy ilustrativos y esclarecedores ambos post. Dicho desde la humilde opinión de una "negada rotunda para los números".

Saludos,

Vanbrugh dijo...

No quisiera iniciar un nuevo debate (o sí...) pero no creo que haya NADA que se empiece a contar por el 0. Tampoco las horas, minutos y segundos. A contar, por definición, se empieza SIEMPRE, TODO, por el 1. Asignamos el 1 a la primera cosa (año, hora, huevo frito) que contamos, y, desde ahí, uno más a cada cosa más. Gracias a eso cuando llegamos a asignar el número n a la última cosa que contamos sabemos que hay n cosas, lo que no sucedería si hubiéramos comenzado por el 0, y la tarea de contar habría perdido entonces su única y fundamental utilidad, que es establecer cuántas cosas hay.

El 0 es el punto anterior a la cuenta de cualesquiera cosas: de horas, de años o de huevos fritos. Al contrario que el 2, el 1.000, el 457.825 o cualquier otro número, que, además de designar a una de las cosas contadas, designan también al punto adimensional entre esa cosa y la siguiente, el 0 no designa a ninguna de las cosas contadas, sino solo al punto entre esa ninguna cosa y la siguiente que es, en su caso, la primera.

No se empieza a contar por el 0. Nada, nunca. Creo poderlo afirmar categóricamente sin miedo a equivocarme.

Numeros dijo...

Veamos si con ayuda de ejemplo me explico mejor.

El primer día del mes es el 1.
El primer mes del año, enero, también se representa con el 1.

Pero cuando contamos las horas, minutos y segundos empezamos por:

00 hr 00 min 00 ss

y eso es un convenio.

Vanbrugh dijo...

Te explicas perfectamente, Números. Veamos si yo consigo otro tanto con tu mismo ejemplo:

El punto 00 hr 00 min 00 ss no es ninguno de los elementos de la cuenta de horas, minutos y segundos, sino exactamente eso, un punto: el punto desde el que se empieza esa cuenta. Indica, precisamente, que no hay aún ninguna (0) hora, ningún (0)minuto y ningún (0)segundo, y que, por eso, el que transcurra a partir de él será el segundo 1 del minuto 1 de la hora 1.

Del mismo modo exactamente podemos fijar un punto 00 a 00 m 00 d a partir del cual empezamos a contar los años, meses y días. Y lo hemos fijado, en realidad: el hecho de contar algo, siempre, dígase expresamente o no, implica fijar un punto 0 a partir del cual comienza la cuenta, no puede hacerse cuenta alguna, de nada, sin previamente fijar ese punto inicial al que, por convenio, llamamos cero. Porque ese convenio a que aludes está implícito en el hecho mismo de contar y es universal, es decir que no se refiere solo a la cuenta de horas minutos y segundos sino a la de cualquier otra cosa que se cuente; y, por tanto, no constituye ninguna diferencia entre la manera de contar horas, minutosy segundos y la de contar cualquier otra cosa. En el caso de los años, los meses y los días ese punto 00 a 00 m 00 d está fijado, exactamente, en las doce en punto de la noche del día 31 de diciembre del año 1 a C. Punto cero de la cuenta a partir del cual empezó a transcurrir el día 1 del mes 1 del año 1. Igual, exactamente igual, que a partir del punto cero de tu convenio comienza a transcurrir, cada vez que lo fijamos, el segundo 1 del minuto 1 de la hora 1.

La frase de tu post: “¿Por qué las horas, minutos y segundos empiezan a contar desde el cero, y los días, meses y años desde el uno?” carece por tanto, a mi juicio, de significado; o, para ser más exactos, tiene un significado erróneo. Si “empezar a contar desde el cero” significa fijar un punto 0 a partir del cual se hace la cuenta, esto ocurre siempre, contando horas y contando días. Si es ese el sentido de “empezar a contar desde” entonces TODO se empieza a contar desde el cero, también los días, los años y los meses. Si, por el contrario “empezar a contar desde el uno” significa asignar el número 1 a la primera unidad que se cuenta, también esto ocurre siempre, contando horas y contando días. Si es ese el sentido de “empezar a contar desde”, entonces TODO se empieza a contar desde el uno, también las horas, los minutos y los segundos. Lo que tú haces es asignar a la expresión “empezar a contar desde” un significado distinto para unas unidades que para otras, y pretender luego que es que unas unidades se cuentan de manera distinta que las otras. Y creo que eso no es correcto.
No hay, en definitiva, ninguna diferencia entre cómo se cuentan las horas, minutos y segundos y cómo se cuentan los días meses y años, en contra de lo que afirmas en el post. Eso es lo que quería decir en mi primer comentario.

Numeros dijo...

Vanbrugh
Pues tienes razón, pero, ni por un momento mi intención era profundizar tanto.

Insisto en que simplemente quería hacer hincapié en que la forma de representar los días 1, 2, 3, ... era diferente de la de representar las horas, minutos y segundos: 00:00:00, 00:00:01, 00:00:02, ..., 00:00:59, 00:01:00, 00:01:01, ...

Vanbrugh dijo...

Estoy seguro de que tú lo tienes clarísimo, pero tu frase -perdona que insista- “¿Por qué las horas, minutos y segundos empiezan a contar desde el cero, y los días, meses y años desde el uno?”, parece autorizar la errónea idea de que empezar a contar por uno o por cero -asignarle a la primera unidad que contamos el número 1 o el 0, quiero decir- es una cuestión optativa, o que depende de cuáles sean las unidades contadas; y, de ese modo, viene a reforzar un error muy extendido -he leído como lo defendían hasta matemáticos de cierto, injustificado, prestigio- y que a mí me irrita especialmente: el de que debería haberse considerado un año 0, con ese vistoso y estúpido colofón de que sino se hizo así, y Dionisio el Exiguo no llamó "año 0" al año 1 se debió sólo a que los romanos no conocían el 0. Afirmación que me enciende de indignación cada vez que la leo u oigo, y que sigo leyendo y oyendo con cierta frecuencia. No otro es el motivo de que me ponga TAN PESADO. Usted perdone.